Kommutative Algebra

Dieser Text beschreibt Kommutative Algebra.

Die Kommutative Algebra ist der Teilbereich der Algebra, der sich mit kommutativen Ringen sowie deren Idealen, Moduln und Algebren beschäftigt. Sie ist grundlegend für die Gebiete der Algebraischen Geometrie und der Algebraischen Zahlentheorie. Ein wichtiges Beispiel für kommutative Ringe sind Polynomringe.

Als Begründer der Kommutativen Algebra kann man David Hilbert bezeichnen. Er scheint die Idealtheorie (so wurde die Kommutative Algebra ursprünglich genannt) als alternativen Zugang zu zahlreichen Fragestellungen angesehen zu haben, der die damals dominierende Funktionentheorie ablösen könnte. In diesem Zusammenhang waren ihm strukturelle Aspekte wichtiger als algorithmische; mit der wachsenden Leistungsfähigkeit von Computer-Algebra-Systemen haben aber konkrete Berechnungen stark an Bedeutung innerhalb der Kommutativen Algebra gewonnen. Das Konzept der Moduln, das in Grundzügen auf Leopold Kronecker zurückgeht, verallgemeinert die Theorie der Ideale, die es als Spezialfall enthält. Diese Methoden wurden von Emmy Noether in die Kommutative Algebra eingeführt und sind heute unverzichtbar.

Die Theorie allgemeiner Ringe, die nicht kommutativ sein müssen, wird als Nichtkommutative Algebra genannt.